諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、計(jì)算物理學(xué)家威爾遜提出了現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱：理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)計(jì)算。如果說伽利略和牛頓在科學(xué)發(fā)展史上奠定了實(shí)驗(yàn)和理論這兩大科學(xué)支柱，那么由馮·諾依曼研制的電子計(jì)算機(jī)就使科學(xué)計(jì)算成為現(xiàn)代科學(xué)研究的另一支柱。
如今，科學(xué)計(jì)算在生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)中起的作用日益凸顯，已經(jīng)成為電子通訊、氣象、石油勘探、核能技術(shù)、航空航天、交通運(yùn)輸、機(jī)械制造、水利建筑等重要工程領(lǐng)域中不可缺少的工具。數(shù)值分析也就應(yīng)運(yùn)而生，它是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的學(xué)科，是科學(xué)工程計(jì)算的重要理論支撐。它既有純粹數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密科學(xué)性，又有著具體應(yīng)用的廣泛性和實(shí)際實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性，是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。
在電子科大，研究生“數(shù)值分析”是面向全校研究生的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。該課程由數(shù)學(xué)學(xué)院何國(guó)良、房秀芬、趙熙樂、張勇、冷勁松、李小舟、李小平、鄧良劍、申華、余雷等10位老師共同負(fù)責(zé)，每年在雙校區(qū)開設(shè)近10個(gè)班，選課人數(shù)超1500余人。
如何上好這樣一門“大課”？多年來，課程組老師們?nèi)翰呷毫?、用心用情，不斷思考、摸索，力?zhēng)讓學(xué)生感興趣、聽得懂、會(huì)應(yīng)用，將課程建設(shè)成為了一門富有成電特色的精品課程，得到了同學(xué)們的滿滿好評(píng)。
結(jié)合實(shí)際：把理論講“活”講透
在很多人看來，數(shù)學(xué)抽象枯燥、邏輯性強(qiáng)，頗有些讓人望而生畏。“如果單純講定理、推公式，那課程難免枯燥乏味，學(xué)生很難提起興趣，”課程組負(fù)責(zé)人何國(guó)良副教授介紹說，“因此，在授課過程中，我們會(huì)引入具體的應(yīng)用或者現(xiàn)實(shí)的案例，讓同學(xué)們知道所學(xué)的數(shù)學(xué)方法是可以應(yīng)用到自己的科研或者生活中的?！?
基因的分類計(jì)算、智能控制的穩(wěn)定性計(jì)算、物理上的熱傳導(dǎo)等，這些看似跟數(shù)學(xué)不那么相關(guān)的問題，在老師們的課堂上，都變成了一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題，牢牢地抓住了同學(xué)們的心。
比如在講樣條插值時(shí)，書本上一般只介紹說這是工程師們常用的方法，然后就開始介紹原理，但何國(guó)良會(huì)先講一個(gè)小故事：以前的工程師們?yōu)榱嗽斐鲎枇苄〉牧骶€型機(jī)身，用柔軟有彈性的木條訂在幾個(gè)點(diǎn)上，將自然彎曲的木條線條摹畫下來，這就是樣條插值的由來。這些背景小知識(shí)不僅活躍了課堂氛圍，也能讓學(xué)生了解該知識(shí)點(diǎn)實(shí)際的應(yīng)用背景，感受到所學(xué)知識(shí)的珍貴。
課程組老師們認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)通常不是簡(jiǎn)單的靈機(jī)一動(dòng)，而是需要反復(fù)實(shí)踐，是建立在直觀和多次失敗的計(jì)算分析上的。但和物理、化學(xué)、生物學(xué)等需要做各種各樣的實(shí)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)新的問題不一樣，數(shù)學(xué)研究主要實(shí)驗(yàn)方式是“思考”。這種方式和其他學(xué)科的“硬核實(shí)驗(yàn)”比起來，顯得比較抽象，難以理解。如果讓“思考”變得直觀一些，那么就能加深學(xué)生對(duì)概念、方法的理解，從而更好地將其作為一種工具來處理實(shí)際問題。
因此，在課堂中，老師們非常注重知識(shí)點(diǎn)的直觀呈現(xiàn)。比如在講“共軛梯度法”這個(gè)概念時(shí)，傳統(tǒng)的講法是從純代數(shù)的角度來展開分析討論，學(xué)生不僅聽起來枯燥，理解起來也困難。而課程組的老師們選擇了從幾何圖形的角度來討論，通過“圖解”的形式流暢地展示該方法自然而然的思維發(fā)展和遞進(jìn)過程，為學(xué)生理解和掌握共軛梯度法提供了一種比較簡(jiǎn)單的途徑。
生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022級(jí)研究生江慧琳選修了這門課程。談及選課初衷，她說，“數(shù)值分析是研究生學(xué)習(xí)階段中非常重要的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，學(xué)好這門課程對(duì)以后的研究生學(xué)習(xí)有很大幫助。特別是對(duì)于工科生來說，在解決很多實(shí)際問題時(shí)都需要用到數(shù)值分析的內(nèi)容?！币粚W(xué)期下來，她感覺受益匪淺?！霸谶x課的時(shí)候我很擔(dān)心數(shù)學(xué)課太難聽不懂，但是其實(shí)老師的課能非常容易聽懂。因?yàn)槔蠋熒险n特別生動(dòng)形象、深入淺出，能夠把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)用易懂的語言娓娓道來。而且如果有不懂的問題，在課下或者課上留出的提問時(shí)間，老師也會(huì)非常耐心認(rèn)真地解答?！?
事實(shí)上，除了不斷打磨教學(xué)方法，把知識(shí)點(diǎn)講“活”講透，課程組老師們還將重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)錄制成了慕課，方便學(xué)生在課后自學(xué)。同時(shí)，課程組老師們還編寫了數(shù)字化教材，希望在更新知識(shí)的同時(shí)提供更為豐富的素材，以滿足不同的專業(yè)學(xué)生的需求，給大家提供良好的學(xué)習(xí)交流平臺(tái)。
“我們希望多措并舉，真正讓學(xué)生弄懂每種方法的思想和邏輯，才能推己及彼、舉一反三，真正把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到自己的學(xué)習(xí)科研中?！焙螄?guó)良說。
立足實(shí)踐：打通從數(shù)學(xué)到計(jì)算機(jī)的“最后一公里”
作為一門學(xué)科交叉課程，“數(shù)值分析”不僅要求學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)編程能力也提出了要求。“怎樣把數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言，打通從數(shù)學(xué)到計(jì)算機(jī)的‘最后一公里’，是這門課的另一個(gè)難點(diǎn)。”何國(guó)良坦言。
在課程建設(shè)的過程中，課程組也調(diào)研過其他高校的相關(guān)課程。他們發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)?；?qū)W科間課程建設(shè)差異很大。比如綜合性大學(xué)在教學(xué)設(shè)計(jì)方面會(huì)照顧各個(gè)專業(yè)的特點(diǎn)，從而導(dǎo)致教學(xué)主要內(nèi)容以理論分析為主。 “我校作為一所以電子信息技術(shù)見長(zhǎng)的理工科大學(xué)，研究生的培養(yǎng)對(duì)動(dòng)手能力的要求很高，因此在課程中我們加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計(jì)、程序設(shè)計(jì)等方面的內(nèi)容?！焙螄?guó)良說。
具體到操作層面，老師們會(huì)在課堂上簡(jiǎn)單介紹課程所用的編程語言，并給同學(xué)們提供一些慕課和參考網(wǎng)站，讓同學(xué)們自學(xué)一些編程知識(shí)。在講具體案例時(shí)，老師們會(huì)注重給學(xué)生展示從建立模型、求解模型到選用計(jì)算方法、編寫程序、調(diào)試程序的完整過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題。
除了課堂上的講解，老師們也會(huì)通過作業(yè)來檢測(cè)同學(xué)們的學(xué)習(xí)成效和動(dòng)手能力?！拔覀儠?huì)結(jié)合課程重點(diǎn)內(nèi)容布置4次大作業(yè)，這些作業(yè)都不是要求大家算題，而是要通過編程解決問題，同時(shí)撰寫科技論文?！焙螄?guó)良介紹說。老師們希望通過這樣的方式，不僅鍛煉同學(xué)們的編程能力，也能在科技論文的寫作中學(xué)會(huì)規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)。
機(jī)電學(xué)院2022級(jí)博士生黃梓幸對(duì)這么課程印象最深的就是這幾次作業(yè)?！袄蠋熀茏⒅貙?duì)我們自主思考和動(dòng)手能力的培養(yǎng)。我記得有一次作業(yè)是要求我們自己編寫程序比較高斯消元法、高斯賽德爾方法、最速下降法、共軛梯度法對(duì)于13階Hilbert線性方程組的求解結(jié)果，同時(shí)還要分析對(duì)比。這算得上是數(shù)學(xué)和編程能力的雙重挑戰(zhàn)，需要搞懂每一種方法的算法思路后才能完成作業(yè)，在這過程中我們不僅加深了對(duì)算法的理解，也鍛煉了編程能力?！?
電子學(xué)院2022級(jí)研究生賈藍(lán)馨感覺，“最開始上這門課不太適應(yīng)，因?yàn)檫@門課不像本科的數(shù)學(xué)課，在每節(jié)課后留相關(guān)的練習(xí)題，而是類似于計(jì)算機(jī)課，會(huì)留一道實(shí)驗(yàn)題并交實(shí)驗(yàn)報(bào)告?！辈贿^一學(xué)期下來，她卻很喜歡這門課，“在寫代碼的過程中，不僅加深了對(duì)知識(shí)的理解，更重要的是在下功夫?qū)懞脤?shí)驗(yàn)報(bào)告的過程中，培養(yǎng)了我們的自主學(xué)習(xí)和思考能力，這對(duì)我們研究生來說非常重要”！
涵養(yǎng)情懷：引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)定民族自信
課程組老師們認(rèn)為，在授課過程中不僅要培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力、刻苦鉆研的品質(zhì)，還要涵養(yǎng)學(xué)生的情懷與責(zé)任感，才能讓學(xué)生成長(zhǎng)為心系社會(huì)、有時(shí)代擔(dān)當(dāng)?shù)淖吭焦こ處煛?
因此，在“數(shù)值分析”課程中，課程組嘗試將社會(huì)主義核心價(jià)值觀、家國(guó)情懷、社會(huì)責(zé)任、文化自信、工程倫理、工匠精神等相關(guān)德育元素融入課程教學(xué)和改革的各環(huán)節(jié)、各方面，以“潤(rùn)物無聲”的方式將正確的價(jià)值追求、理想信念和家國(guó)情懷有效地傳遞給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)的有效結(jié)合，達(dá)到“如春在花、如鹽化水”的效果。
“中國(guó)是世界文明古國(guó)之一，數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門重要學(xué)科，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。我們希望能將中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就有機(jī)地融入課程中，一方面增強(qiáng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，另一方面也增強(qiáng)大家的民族自豪感和自信心?！焙螄?guó)良說。
在課程中，老師們會(huì)結(jié)合數(shù)值分析在實(shí)際工程應(yīng)用中的重要作用，例如利用求解大型方程組在預(yù)警、雷達(dá)信號(hào)處理等方面的作用，非線性方程和導(dǎo)航的關(guān)系，微分方程和 5G 通信、隱形技術(shù)的關(guān)系，特征值與圖像處理和模式識(shí)別、特殊信號(hào)檢測(cè)的關(guān)系等，來激發(fā)大家不斷鉆研、追求卓越的科學(xué)精神。更重要的是，他們巧妙地將中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就融入課程中，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情和民族自豪感。
例如在介紹求解多項(xiàng)式在某一點(diǎn)的值時(shí)，老師們會(huì)先講一下常規(guī)的算法，隨后引入“秦九韶算法”在解決該問題上的優(yōu)越性，隨后就順便給同學(xué)們介紹南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的成就和貢獻(xiàn)。在介紹龍貝格外推時(shí)引入中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典案例——南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之利用外推法推算圓周率的故事，讓同學(xué)們感受到中國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)世界的重要貢獻(xiàn)……
正是在這樣一些鮮活的故事中，學(xué)生們不僅可以學(xué)習(xí)到中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的敬業(yè)精神和堅(jiān)忍不拔的品質(zhì)，也能了解到中華文化的博大精深，從而涵養(yǎng)愛國(guó)情懷、提高文化自信。
得益于學(xué)校、學(xué)院和團(tuán)隊(duì)老師的大力支持，課程組老師們始終保持著對(duì)課程的熱忱，通過課程內(nèi)容的不斷迭代升級(jí)，使課程始終保持高質(zhì)量。他們會(huì)經(jīng)常聚在一起研討，看某個(gè)知識(shí)點(diǎn)是否有更好的呈現(xiàn)方式，教學(xué)內(nèi)容是否有需要調(diào)整的地方……他們希望能通過課程為學(xué)生搭建起從數(shù)學(xué)知識(shí)到計(jì)算機(jī)應(yīng)用的堅(jiān)固橋梁，讓學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“用數(shù)學(xué)”“愛數(shù)學(xué)”，從而在科研的道路上走得更穩(wěn)更遠(yuǎn)！
